Reflexões sobre os "Estudos para um azulejo de Eduardo Nery"

O azulejo das figuras 1 é o de Eduardo Nery. Os outros dois azulejos são azulejos em que eu desenhei 3 letras: F, P, R. Estas três letras são boas para isto porque não têm simetrias de qualquer espécie.

As linhas vermelhas representam eixos de reflexão. As verdes, representam eixos de reflexão deslizante. Os pontos com um 2, representam centros de rotação de ordem 2. A fronteira das regiões fundamentais é assinalada com linhas amarelas, quando não coincida com eixos de reflexão.

A figura 2a representa um azulejo com as condições necessárias e suficientes, para num painel de tipo 28 ter um grupo como o azulejo de E. Nery. Há um eixo de reflexão numa diagonal. Dividi o azulejo em 4 quadrados iguais. No centro de cada um dos quadrados há um centro de rotação de ordem 2. Dois dos quadrados têm mais um eixo de eixo de reflexão numa diagonal. O resultado é que o painel de tipo 28 tem o mesmo grupo que o azulejo de E. Nery (Figura 2b). No painel de tipo 58 não tem o mesmo grupo (Figura 2c). Logo, o azulejo 2 não é matematicamente equivalente ao de E. Nery.

A figura 3a representa um azulejo com as condições necessárias e suficientes, para num painel de tipo 58, ter um grupo como o azulejo de E. Nery. Há um eixo de reflexão numa diagonal. Dividi o azulejo em 4 quadrados iguais. No centro de dois dos quadrados há um centro de rotação de ordem 2. Os 4 quadrados têm mais um eixo de eixo de relexão numa diagonal. O resultado é que o painel de tipo 58 tem o mesmo grupo que o azulejo de E. Nery (Figura 3c). No painel de tipo 28 não tem o mesmo grupo (Figura 3b). Logo, o azulejo 3 não é matematicamente equivalente ao de E. Nery.

De facto, o azulejo de E. Nery tem as propriedades acumuladas do azulejo 2 e do azulejo 3.

O azulejo de Setúbal de E. Nery é ainda matematicamente distinto destes três.

Tudo isto coloca muitas interrogações como a da classificação matemática dos azulejos. Assim vejo uma das formas como o azulejo de Eduardo Nery me interpela.

(Adaptação de um texto de 29 de Novembro de 2011)

Nota de 30 de Junho de 2012: Como se vê não há aqui, ainda, qualquer referência ao painel de tipo 38, referência preferencial que se dá no artigo que, a seguir, se cita.

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See: 
A contribution for a mathematical classification of square tiles
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Jorge Rezende
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Video: 
The magic of a Eduardo Nery tile
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See also: 
Estudos para um azulejo de Eduardo Nery 
História de um azulejo de Eduardo Nery