SIMPLES AZULEJOS - Azulejos quadrados e Matemática

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SIMPLES AZULEJOS - Azulejos quadrados e Matemática

SIMPLES AZULEJOS - Azulejos quadrados e Matemática

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Simples azulejos

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Com um simples azulejo (actividades no Departamento de Matemática da FCUL)

Com um simples azulejo
Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa

Actividades no DM - do 4º ano ao 7º ano de escolaridade

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Actividade - "Com um simples azulejo" - para alunos do 3º ano ao 7ºano de escolaridade a realizar no Departamento de Matemática  da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa.

As visitas, com marcação prévia, decorrerão entre as 14h  e as 16h, de  2ª a 6ª feira, durante o próximo mês de Junho, envolvendo, em cada sessão até 30 alunos.

As actividades são gratuitas. Os alunos deverão trazer lápis, borracha, tesoura e marcadores ou lápis de cor.

Informações e marcação prévia  dm_divulgação@fc.ul.pt

O azulejo articulado de Eduardo Nery (Projeto Klein de Matemática em língua portuguesa)

 

O azulejo articulado de Eduardo Nery

Projeto Klein de Matemática em língua portuguesa

Azulejos articulados com um eixo de reflexão numa mediana

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Apresenta-se aqui uma tabela com uma listagem de painéis compostos por cópias de um único azulejo com um eixo de reflexão numa mediana. Na primeira coluna está o número do painel (para ver o que significa este número, consultar O azulejo articulado de Eduardo Nery; aqui, a mediana reflecte o vértice 1 no vértice 2 e o vértice 3 no vértice 4). Na segunda coluna diz-se se o painel é reflexo ou, no caso de não o ser, qual é o número do painel que é o seu reflexo. Nas colunas seguintes estão as áreas e os grupos de simetria referentes a azulejos articulados. As discrepâncias entre eles e os azulejos comuns estão apenas em três painéis: o 11 (nos "comuns" a área é 2 e o grupo pg); o 28 (nos "comuns" a área é 1 e o grupo pm); e o 58 (nos "comuns" a área é 2 e o grupo c2mm). Estes azulejos "comuns", por vezes belíssimos, podem ser vistos nas ligações que, a seguir, se indicam.

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Ver:

Simetrias próprias de azulejos de Athos Bulcão: Brasília Palace Hotel 

Simetrias próprias de azulejos de Athos Bulcão: Igrejinha Nossa Senhora de Fátima  

Simetrias próprias de azulejos de Almada Negreiros

Simetrias próprias de azulejos de Raul Lino 

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O azulejo articulado de Eduardo Nery

O azulejo de 1966 de Eduardo Nery comparado com um azulejo só com um eixo de reflexão numa diagonal

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Apresenta-se aqui uma tabela com uma listagem de painéis. Na primeira coluna está o número do painel (para ver o que significa este número, consultar O azulejo articulado de Eduardo Nery). Na segunda coluna diz-se se o painel é reflexo ou, no caso de não o ser, qual é o número do painel que é o seu reflexo. Na terceira coluna está a área de uma região fundamental. Na quarta coluna está o grupo de simetria. A vermelho, estão os dados do azulejo comum, só com um eixo de reflexão numa diagonal, nos cinco casos em que há divergências com o azulejo de Eduardo Nery. Estes azulejos "comuns", por vezes belíssimos, podem ser vistos nas ligações que, a seguir, se indicam.

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Ver:

Os azulejos de 1966 e de 1993 de Eduardo Nery e suas propriedades geométricas

Simetrias próprias de azulejos de Athos Bulcão: Centro Cultural Missionário da CNBB 

Simetrias próprias de azulejos de Athos Bulcão: Rio Atlântica Hotel - Rio de Janeiro 

Simetrias próprias de azulejos de Almada Negreiros

O azulejo articulado de Eduardo Nery

O azulejo articulado de Eduardo Nery (Projeto Klein de Matemática em língua portuguesa)

O azulejo articulado de Eduardo Nery

 

Projeto Klein de Matemática em língua portuguesa

Articulated tiles / Azulejos articulados

Consider infinitely many copies of a single square tile and cover the plane with them, without gaps and without overlaps (a tiling of the plane), with the vertices making a square point lattice. Choose a point in a tile. If there is a tiling of the plane where this point is a rotation center of order n, one says that it is a rotation center of order n of the tile itself.
Tiles can only have two or four rotation centers of order 4 located in the middle of the edges.
Articulated tiles have two, and only two, rotation centers of order 4 in the middle of two edges; this means that the other two are not rotation centers of order 4. Moreover, they have a natural ''division'' in the four squares that one can obtain by drawing the two lines that connect the middle of oposite edges. These squares form a kind of matrix with two rows and two columns (2×2).

Articulated tiles must also have some other properties that classify them in three disjoint families.

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Properties of the three families of articulated tiles:

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a) The first family of articulated tiles. The two rotation centers of order 4 are located in the middle of two edges with a common vertice. Each one of the four small squares of the tile remain invariant under a rotation by an angle of 180º.

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b) The second family of articulated tiles. The two rotation centers of order 4 are located in the middle of two opposite edges. If one translates (exchanges) the two small squares of each diagonal of the tile, the tile does not change.

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c) The third family of articulated tiles. The two rotation centers of order 4 are located in the middle of two opposite edges. Each one of the four small squares of the tile remain invariant under a rotation by an angle of 180º.

 

See also:

A contribution for a mathematical classification of square tiles

O azulejo de 1966 de Eduardo Nery e o seu dual

O azulejo articulado 13b02 e o seu dual / Articulated tile 13b02 and its dual

O azulejo articulado 14b02 e o seu dual / Articulated tile 14b02 and its dual

O azulejo articulado 15b01 e o seu dual / Articulated tile 15b01 and its dual

O azulejo articulado 15b01 e o seu dual / Articulated tile 15b01 and its dual

Desenhos de Jorge Rezende do azulejo 15b01 e do seu dual. O "design" é de Jorge Rezende (2012). Não têm as mesmas propriedades geométricas do azulejo de 1966 de Eduardo Nery.

São ambos azulejos articulados. Pertencem ambos à terceira família de azulejos articulados (há três).

Os azulejos articulados possuem de comum uma “divisão” natural em quatro quadrados iguais que se obtêm traçando os dois segmentos que unem os pontos médios de arestas opostas. Formam uma espécie de matriz com duas linhas e duas colunas (2×2); os dois quadrados de cima são a primeira linha e os de baixo a segunda; os dois quadrados da esquerda são a primeira coluna e os da direita a segunda. Trocando as linhas forma-se um novo azulejo; precisamente o mesmo azulejo se obtém trocando as colunas. Esse azulejo, único, chama-se “o dual” do azulejo de que se partiu; este, é o dual do dual, naturalmente. Tem mais duas propriedades notáveis: é um azulejo articulado; se o azulejo inicial tiver continuidade de cores entre azulejos, o seu dual também tem.

O azulejo articulado 14b02 e o seu dual / Articulated tile 14b02 and its dual

Desenhos de Jorge Rezende do azulejo 14b02 e do seu dual, 14c02. O "design" é de Jorge Rezende (2012). Não têm as mesmas propriedades geométricas do azulejo de 1966 de Eduardo Nery.

São ambos azulejos articulados. Pertencem ambos à segunda família de azulejos articulados (há três).

Os azulejos articulados possuem de comum uma “divisão” natural em quatro quadrados iguais que se obtêm traçando os dois segmentos que unem os pontos médios de arestas opostas. Formam uma espécie de matriz com duas linhas e duas colunas (2×2); os dois quadrados de cima são a primeira linha e os de baixo a segunda; os dois quadrados da esquerda são a primeira coluna e os da direita a segunda. Trocando as linhas forma-se um novo azulejo; precisamente o mesmo azulejo se obtém trocando as colunas. Esse azulejo, único, chama-se “o dual” do azulejo de que se partiu; este, é o dual do dual, naturalmente. Tem mais duas propriedades notáveis: é um azulejo articulado; se o azulejo inicial tiver continuidade de cores entre azulejos, o seu dual também tem.

O azulejo articulado 13b02 e o seu dual / Articulated tile 13b02 and its dual

Desenhos de Jorge Rezende do azulejo 13b02 e do seu dual, 13b03. O "design" é de Jorge Rezende (2012). Têm exactamente as mesmas propriedades geométricas do azulejo de 1966 de Eduardo Nery.

São ambos azulejos articulados. Pertencem ambos à primeira família de azulejos articulados (há três).

Os azulejos articulados possuem de comum uma “divisão” natural em quatro quadrados iguais que se obtêm traçando os dois segmentos que unem os pontos médios de arestas opostas. Formam uma espécie de matriz com duas linhas e duas colunas (2×2); os dois quadrados de cima são a primeira linha e os de baixo a segunda; os dois quadrados da esquerda são a primeira coluna e os da direita a segunda. Trocando as linhas forma-se um novo azulejo; precisamente o mesmo azulejo se obtém trocando as colunas. Esse azulejo, único, chama-se “o dual” do azulejo de que se partiu; este, é o dual do dual, naturalmente. Tem mais duas propriedades notáveis: é um azulejo articulado; se o azulejo inicial tiver continuidade de cores entre azulejos, o seu dual também tem.

Os azulejos de 1966 e de 1993 de Eduardo Nery e suas propriedades geométricas

Neste conjunto de desenhos comparo dois azulejos de Eduardo Nery: o de 1966 (usado em Torres Vedras, Mértola e Contumil) e o de 1993 (usado no Tribunal de Setúbal). Do ponto de vista matemático, são, aparentemente, idênticos: têm uma recta de reflexão numa diagonal.

Veja, através de vários painéis que desenhei, que não é assim. As linhas vermelhas representam eixos de reflexão. As verdes, representam eixos de reflexão deslizante. Os pontos com um pequeno quadrado violeta, representam centros de rotação de ordem 4. Os pontos com um pequeno círculo violeta, representam centros de rotação de ordem 2. A fronteira das regiões fundamentais é assinalada com linhas amarelas, quando não coincida com eixos de reflexão.

O azulejo de 1966 de Eduardo Nery e o seu dual

Desenhos de Jorge Rezende do azulejo de 1966 de Eduardo Nery e do seu dual.

São ambos azulejos articulados. Pertencem ambos à primeira família de azulejos articulados (há três).

Os azulejos articulados possuem de comum uma “divisão” natural em quatro quadrados iguais que se obtêm traçando os dois segmentos que unem os pontos médios de arestas opostas. Formam uma espécie de matriz com duas linhas e duas colunas (2×2); os dois quadrados de cima são a primeira linha e os de baixo a segunda; os dois quadrados da esquerda são a primeira coluna e os da direita a segunda. Trocando as linhas forma-se um novo azulejo; precisamente o mesmo azulejo se obtém trocando as colunas. Esse azulejo, único, chama-se “o dual” do azulejo de que se partiu; este, é o dual do dual, naturalmente. Tem mais duas propriedades notáveis: é um azulejo articulado; se o azulejo inicial tiver continuidade de cores entre azulejos, o seu dual também tem. O dual do azulejo de Eduardo Nery tem exactamente as mesmas propriedades geométricas que o azulejo de Nery. Não tem, obviamente, as mesmas propriedades plásticas.

A primeira figura mostra o azulejo de 1966 de Eduardo Nery tendo representadas as suas simetrias. As linhas vermelhas representam eixos de reflexão. Os pontos com um pequeno quadrado violeta, representam centros de rotação de ordem 4. Os pontos com um pequeno círculo violeta, representam centros de rotação de ordem 2.

Exposição «CIÊNCIA E ARTE» no Museu Nacional de Soares dos Reis (aberta até 24 de Fevereiro): Variações em azulejos va22b01 (esquema e painel)

Autor: Jorge Rezende

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Fotografias da Inauguração da Exposição "Ciência e Arte"

The magic of articulated tiles 14b02

Video:

The magic of articulated tiles 14b02

A SHORT FILM DIRECTED BY JORGE REZENDE

This tile 14b02 was designed in 2012 by Jorge Rezende.
Although it is also articulated, it has not the mathematical properties of the 1966 Eduardo Nery tile.
Nevertheless, articulated tiles theory is inspired by this work of the portuguese Artist.
Tile 14b02 has the following nontrivial symmetries: two rotation centers of order 4, two translations in the diagonals, four reflection lines.
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See:

A contribution for a mathematical classification of square tiles
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Jorge Rezende

Exposição «CIÊNCIA E ARTE» no Museu Nacional de Soares dos Reis (de 19 de Janeiro a 24 de Fevereiro): Variações em azulejos va22b01

 

Autor: Jorge Rezende

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Edifício do Museu Nacional de Soares dos Reis

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Fotografias da Inauguração da Exposição "Ciência e Arte"

Exposição «CIÊNCIA E ARTE» no Museu Nacional de Soares dos Reis (de 19 de Janeiro a 24 de Fevereiro): Variações em azulejos va22b01 (esquema)

Autor: Jorge Rezende

The magic of articulated tiles 14b02

Video:

The magic of articulated tiles 14b02

A SHORT FILM DIRECTED BY JORGE REZENDE

This tile 14b02 was designed in 2012 by Jorge Rezende.
Although it is also articulated, it has not the mathematical properties of the 1966 Eduardo Nery tile.
Nevertheless, articulated tiles theory is inspired by this work of the portuguese Artist.
Tile 14b02 has the following nontrivial symmetries: two rotation centers of order 4, two translations in the diagonals, four reflection lines.
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A contribution for a mathematical classification of square tiles
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Jorge Rezende

The magic of articulated tiles 15b01

Video:

The magic of articulated tiles 15b01

A SHORT FILM DIRECTED BY JORGE REZENDE

This tile 15b01 was designed in 2012 by Jorge Rezende.
Although it is also articulated, it has not the mathematical properties of the 1966 Eduardo Nery tile.
Nevertheless, articulated tiles theory is inspired by this work of the portuguese Artist.
Tile 15b01 has the following nontrivial symmetries: two rotation centers of order 4, four rotation centers of order 2, four reflection lines.
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A contribution for a mathematical classification of square tiles
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Jorge Rezende

The magic of articulated tiles 13b02

Video:

The magic of articulated tiles 13b02

A SHORT FILM DIRECTED BY JORGE REZENDE

This tile 13b02 was designed in 2012 by Jorge Rezende.

It has exactly the same mathematical properties as the 1966 Eduardo Nery tile.

This means that its tilings have exactly the same symmetry groups: the same reflection lines, the same rotation centers and the fundamental regions have the same shape and area.

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A contribution for a mathematical classification of square tiles
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Jorge Rezende