polýedros: Estudos para um azulejo de Eduardo Nery (esquemas)

Sunday, June 24, 2012

Estudos para um azulejo de Eduardo Nery (esquemas)

Estes esquemas foram realizados pelo autor deste blogue entre 10 e 19 de Julho de 2011.
O meu plano inicial era desenhar/ver todas as pavimentações do plano com o azulejo de Eduardo Nery com uma região fundamental com área menor ou igual a 4 (azulejos).

Uma das possiblidades é a de reunir os 4 azulejos em torno de um dos vértices.

Em primeiro lugar, numerei os vértices no sentido directo (o contrário ao dos ponteiros do relógio): 1, 2, 3 e 4. Reservei os números ímpares (1 e 3) para os vértices que contêm a diagonal que é um eixo de refexão do azulejo. Os pares (2 e 4) têm a diagional amarela. O 1 é o vértice que só tem como canto o triângulo amarelo.

Fixei de uma vez por todas um azulejo. Depois, para cada um dos três restantes há quatro possibilidades. O que dá 64 (4x4x4) possibilidades. Imaginemos o número brutal de possibilidades se em vez de 4 fossem 9, por exemplo... (dava 16x16x16x16(=65536)).

Depois, tratava-se de fazer as translacções. Nas figuras estão representadas 6 imagens, correspondentes a 6 páginas. Na última figurinha de cada página, a vermelho, estão desenhados os vectores que fazem as translacções. Há 3 possibilidades o que dá 3x64. Páginas 1 e 2: vectores ortogonais, com comprimento 2, paralelos aos lados dos azulejos. Páginas 3, 4, 5 e 6: vectores oblíquos.

Tudo feito, há muitas repetições e equivalências (são numeradas e notadas a verde). Por exemplo, as páginas 5 e 6 são meras repetições.

As imagens dos "Estudos" correspondem ao resultado final. Há 36 possibilidades, contadas assim:

a) Páginas 1 e 2:

Com reflexão: 1, 3, 8, 11, 14, 20, 23, 28, 35, 38, 58.

Sem reflexão: 2, 6, 7, 10, 18, 19; não desenhei os desenhos reflectidos, considerei-os equivalentes; quem os quiser ver, basta pôr estes ao espelho...

Ao todo: 17

b) Páginas 3 e 4:

Com reflexão: 1', 8', 14', 41', 53'.

Sem reflexão: 2', 3', 4', 6', 7', 10', 19', 20', 21', 25', 35', 36', 42', 52'; mais uma vez, não desenhei os desenhos reflectidos.

Ao todo: 19

Nos esquemas finais, estão resumidos, nas páginas 7-9, os (36=17+19) desenhos destas possibilidades. São estes os "Estudos para um azulejo de Eduardo Nery".

As restantes possibilidades estão resumidas nas páginas 10 e 11. São 24. Não fiz desenhos como fiz para os "Estudos".

O que mais me surpreendeu, na altura, foi o desenho 58. No caso Contumil / Mértola / Torres Vedras é do grupo p2mm e a sua região fundamental (cujo esquema está aqui) tem a área 1 (a área de 1 azulejo). No caso Setúbal é do grupo p2mg e a sua região fundamental (cujo esquema está aqui) tem a área 2 (a área de 2 azulejos).

Nos esquemas finais (páginas 7-9), como se pode ver, escrevi a lápis os grupos, por "palpite", antes de fazer os desenhos. Grande ingenuidade!... Feitos os desenhos ("Estudos para um azulejo de Eduardo Nery") verifiquei que estava enganado.

(Adaptação de um texto de 13 de Novembro de 2011)