Sunday, April 21, 2013

Estudos para painéis de azulejos com um centro de rotação de ordem 2 no meio


Consideramos o caso em que há um centro de rotação no meio do azulejo e utilizaremos, para começar, um azulejo sem outras simetrias próprias como na Figura d em Simetrias próprias dos azulejos.
Uma das possibilidades mais evidentes e não triviais, mas elementares, é a de reunir quatro azulejos em torno de um dos vértices e, em seguida, obter um painel fazendo translações.
Para maior clareza e para considerar todas as situações de uma forma exaustiva, numeremos os vértices no sentido direto (o contrário ao dos ponteiros do relógio): 1, 2, 1 e 2. O vértice 1 é o do canto superior direito na posição em que está o azulejo da Figura 1d em Simetrias próprias dos azulejos
. Em torno desse vértice reuniremos mais três azulejos. Para cada um dos três restantes há duas maneiras de os colocar o que dá, ao todo, 8 (2×2×2) possibilidades. De facto, notando os três cantos restantes p, q e r, como mostram as Figuras 6-8 em O azulejo articulado de Eduardo Nery, formamos um quadrado com quatro azulejos (1pqr). Ordenando todas as possibilidades por ordem crescente, obtemos que no conjunto, de quatro azulejos de ordem n, n é dado pela fórmula n=4(p-1)+2(q-1)+ r. Para p, q, r =1, 2, vem n=1, 2, ..., 8.
Depois, trata-se de fazer as translações. Há três possibilidades para as translações: paralelamente aos lados (translações de duas unidades na vertical e translações de duas unidades na horizontal, como mostra a Figura 6
em O azulejo...); translações de duas unidades na horizontal e translações oblíquas (de duas unidades na vertical e de uma unidade na horizontal, como mostra a Figura 7 em O azulejo...); translações de duas unidades na vertical e translações oblíquas (de duas unidades na horizontal e de uma unidade na vertical, como mostra a Figura 8 em O azulejo...). Tudo somado, há 24 (8×3) possibilidades, numeradas de 1 a 8, de 1’ a 8’ e de 1’’ a 8’’, respectivamente.
Nos 24 painéis possíveis, há repetições e equivalências no sentido em que um painel pode ser obtido de outro por translações e rotações. O leitor verifique que há 7 possibilidades diferentes, contadas assim:
1
; 2=3, 5, 8; 4=7, 7', 4''; 6=6', 6''; 1'=4', 1'', 7''; 2'=5', 8', 3''; 3'=2'', 5'', 8''.
Suponhamos agora que o azulejo tem eixo de reflexão numa diagonal (Figura g em
Simetrias...). Reservemos o número 1 para os vértices que contêm essa diagonal. Colocando o azulejo ao espelho, vê-se precisamente a mesma imagem só que os vértices 2 trocam. Colocando os quatro azulejos ao espelho, os azulejos contados no sentido direto, aparecem na imagem no sentido retrógrado. O leitor verifique que há: com reflexão, 5; sem reflexão: 2 (2' e 3' são reflexos um do outro); se, de cada par de painéis reflexos um do outro, escolhermos apenas um, há 6 possibilidades. 
Se, em vez de ser na diagonal o eixo de reflexão for numa mediana (Figura f em Simetrias...), as possibilidades repartem-se assim: com reflexão, 7; sem reflexão: 0.
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Thursday, April 18, 2013

Azulejos articulados com um eixo de reflexão numa mediana

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Apresenta-se aqui uma tabela com uma listagem de painéis compostos por cópias de um único azulejo com um eixo de reflexão numa mediana. Na primeira coluna está o número do painel (para ver o que significa este número, consultar O azulejo articulado de Eduardo Nery; aqui, a mediana reflecte o vértice 1 no vértice 2 e o vértice 3 no vértice 4). Na segunda coluna diz-se se o painel é reflexo ou, no caso de não o ser, qual é o número do painel que é o seu reflexo. Nas colunas seguintes estão as áreas e os grupos de simetria referentes a azulejos articulados. As discrepâncias entre eles e os azulejos comuns estão apenas em três painéis: o 11 (nos "comuns" a área é 2 e o grupo pg); o 28 (nos "comuns" a área é 1 e o grupo pm); e o 58 (nos "comuns" a área é 2 e o grupo c2mm). Estes azulejos "comuns", por vezes belíssimos, podem ser vistos nas ligações que, a seguir, se indicam.
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Wednesday, April 17, 2013

O azulejo de 1966 de Eduardo Nery comparado com um azulejo só com um eixo de reflexão numa diagonal

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Apresenta-se aqui uma tabela com uma listagem de painéis. Na primeira coluna está o número do painel (para ver o que significa este número, consultar O azulejo articulado de Eduardo Nery). Na segunda coluna diz-se se o painel é reflexo ou, no caso de não o ser, qual é o número do painel que é o seu reflexo. Na terceira coluna está a área de uma região fundamental. Na quarta coluna está o grupo de simetria. A vermelho, estão os dados do azulejo comum, só com um eixo de reflexão numa diagonal, nos cinco casos em que há divergências com o azulejo de Eduardo Nery. Estes azulejos "comuns", por vezes belíssimos, podem ser vistos nas ligações que, a seguir, se indicam.
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Tuesday, April 16, 2013

Sunday, April 14, 2013

Simetrias próprias de azulejos de Almada Negreiros

Fotografia retirada de aqui.
 Fotografia retirada de aqui.

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Aqui estão azulejos de diversos tipos: azulejos com um eixo de reflexão numa diagonal, azulejos com um eixo de reflexão numa mediana, azulejos com um centro de rotação de ordem 2 no meio e azulejos com centro de rotação de ordem 4 no meio. Refiro-me só aos azulejos com traços escuros; os outros, sem traço escuros, têm um centro de rotação de ordem 4 no meio e quatro eixos de reflexão (dois nas diagonais e dois nas medianas).

Friday, April 12, 2013

Simetrias próprias de azulejos de Athos Bulcão: Rio Atlântica Hotel - Rio de Janeiro

Painel de azulejos, Terraço do Rio Atlântica Hotel, 1989. Foto: Tuca Reinés
Aqui estão azulejos de diversos tipos: azulejos com um eixo de reflexão numa diagonal, azulejos com um centro de rotação de ordem 2 no meio e azulejos com centro de rotação de ordem 2 no meio e dois eixos de reflexão nas diagonais.


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