Wednesday, June 22, 2011

Wallpaper groups. Tiles: Portugal, Palácio Nacional de Sintra - c2mm




Numbers mean rotations of order 2. Mirrors are represented by red lines and and glides by green ones. Yellow lines are the border of a fundamental region.

Sunday, June 19, 2011

Há um trabalho a fazer em relação ao azulejo...




Fotografias:

(...)
Nos claustros e em salas que para eles dão, está o Museu do Azulejo. Ao viajante vêm dizer que as peças mostradas são parte ínfima do que se encontra armazenado à espera de espaço e dinheiro. Mesmo assim, este museu é um precioso lugar, aonde o viajante lastima que não venham, ou se vêm não lhes aproveita, aqueles que orientam o gosto de decorar. Há um trabalho a fazer em relação ao azulejo, não de reabilitação, que de tal não precisa ele, mas de entendimento. De entendimento português, acrescente-se. Porque, em verdade, depois de ter sido desprezado durante grande parte deste século, o azulejo regressou em força ao revestimento exterior dos prédios. Para geral desgraça, acrescente-se outra vez. Quem esses azulejos desenha, não sabe o que são azulejos. E, pelos vistos, quem de responsabilidades didácticas se exorna e argumenta não o sabe também.
(...)
-

Saturday, June 18, 2011

Esteve aí um viajante para ver os azulejos...

(...)
Castro Verde merece o nome que tem. Está num alto e não lhe faltam verduras para aliviar os olhos das sequidões da charneca. Se só de monumentos cuidasse hoje o viajante, mal lhe valeria a pena de vir de tão longe para o pouco que verá, valendo embora tanto atravessar mais de quarenta quilómetros de searas ceifadas. Está aberta a Igreja das Chagas do Salvador, que tem para mostrar ingénuos quadros com cenas guerreiras e um bom silhar de azulejos, mas a matriz, a que chamam aqui basílica real, não. O viajante desespera-se. Vai à procura do padre que mora em tal e tal sítio, uma casa toda cercada de parreiras, engana-se uma vez e duas, e enfim dá com a residência, cá estão as parreiras. O padre é que não está. O viajante dá a volta à casa, vai aos fundos do quintal, nem cão ladra nem gato sopra. Regressa zangado à igreja, abana-lhe as fortíssimas portas (é uma imensa construção, e diz-se que lá dentro há uns painéis de azulejos que representam episódios da batalha de Ourique), mas o santo lugar não se comove. Estivessem estas coisas convenientemente organizadas, e, faltando o padre, viria um anjo à porta, abanando as asas para se refrescar, e perguntaria: «Que queres?» E o viajante: «Venho ver os azulejos.» Tornava o anjo: «És crente?» E o viajante, em confissão: «Não, não sou. Tem importância para os azulejos?» E o anjo: «Não tem nenhuma. Podes entrar.» Assim é que devia ser. Quando o padre regressasse, o anjo daria contas da sua guarda: «Esteve aí um viajante para ver os azulejos. Deixei-o entrar. Pareceu-me boa pessoa.» E o padre, para dizer alguma coisa: «Era crente?» Responderia o anjo, que não gosta de mentir: «Era.» Num mundo assim, pensa o viajante, não ficaria um azulejo para ver.
(...)
(José Saramago, Viagem a Portugal)

Tuesday, June 07, 2011

Wallpaper groups: Periodical plane puzzles with numbers


-
Consider a periodical (in two independent directions) tiling of the plane with polygons (faces). In this article we shall only give examples using squares, regular hexagons, equilateral triangles and parallelograms ("unions" of two equilateral triangles). We shall call some "multiple" of the fundamental region "the board". We naturally identify pairs of corresponding edges of the the board. Figures 9 and 19-29, in this article, show different boards. The "border" of the board is represented by a yellow thick line, unless part of it or all of it is the edge of a face.
The board is tiled by a finite number of polygons. Construct polygonal plates in the same number, shape and size as the polygons of the board. Adjacent to each side of each plate draw a number, or two numbers, like it is shown in Figures 1 and 18-29. Figure 1 shows the obvious possibility of having plates with simple drawings, coloured drawings, etc.
Now the game is to put the plates over the board polygons in such a way that the numbers near each board edge are equal. If there is at least one solution of this puzzle one says that we have a periodical plane puzzle with numbers.
These puzzles are a tool in teaching and learning mathematics. For those that already have some mathematical knowledge, they are a source for many examples and exercises, that go from the elementary to complex ones, in combinatorics, group theory (including symmetry and permutation groups), programming, and so on. The object of this work is to point out some possibilities by giving simple examples.
The computer is the only practical way of "materializing" infinite periodical plane puzzles. Hence, these puzzles can be very well put into practice as computer games.
This article follows some others on puzzles with numbers.

Wednesday, June 01, 2011