Articulated tiles / Azulejos articulados

Consider infinitely many copies of a single square tile and cover the plane with them, without gaps and without overlaps (a tiling of the plane), with the vertices making a square point lattice. Choose a point in a tile. If there is a tiling of the plane where this point is a rotation center of order n, one says that it is a rotation center of order n of the tile itself.
Tiles can only have two or four rotation centers of order 4 located in the middle of the edges.
Articulated tiles have two, and only two, rotation centers of order 4 in the middle of two edges; this means that the other two are not rotation centers of order 4. Moreover, they have a natural ''division'' in the four squares that one can obtain by drawing the two lines that connect the middle of oposite edges. These squares form a kind of matrix with two rows and two columns (2×2).

Articulated tiles must also have some other properties that classify them in three disjoint families.

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Properties of the three families of articulated tiles:

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a) The first family of articulated tiles. The two rotation centers of order 4 are located in the middle of two edges with a common vertice. Each one of the four small squares of the tile remain invariant under a rotation by an angle of 180º.

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b) The second family of articulated tiles. The two rotation centers of order 4 are located in the middle of two opposite edges. If one translates (exchanges) the two small squares of each diagonal of the tile, the tile does not change.

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c) The third family of articulated tiles. The two rotation centers of order 4 are located in the middle of two opposite edges. Each one of the four small squares of the tile remain invariant under a rotation by an angle of 180º.

 

See also:

A contribution for a mathematical classification of square tiles

O azulejo de 1966 de Eduardo Nery e o seu dual

O azulejo articulado 13b02 e o seu dual / Articulated tile 13b02 and its dual

O azulejo articulado 14b02 e o seu dual / Articulated tile 14b02 and its dual

O azulejo articulado 15b01 e o seu dual / Articulated tile 15b01 and its dual

O azulejo articulado 15b01 e o seu dual / Articulated tile 15b01 and its dual

Desenhos de Jorge Rezende do azulejo 15b01 e do seu dual. O "design" é de Jorge Rezende (2012). Não têm as mesmas propriedades geométricas do azulejo de 1966 de Eduardo Nery.

São ambos azulejos articulados. Pertencem ambos à terceira família de azulejos articulados (há três).

Os azulejos articulados possuem de comum uma “divisão” natural em quatro quadrados iguais que se obtêm traçando os dois segmentos que unem os pontos médios de arestas opostas. Formam uma espécie de matriz com duas linhas e duas colunas (2×2); os dois quadrados de cima são a primeira linha e os de baixo a segunda; os dois quadrados da esquerda são a primeira coluna e os da direita a segunda. Trocando as linhas forma-se um novo azulejo; precisamente o mesmo azulejo se obtém trocando as colunas. Esse azulejo, único, chama-se “o dual” do azulejo de que se partiu; este, é o dual do dual, naturalmente. Tem mais duas propriedades notáveis: é um azulejo articulado; se o azulejo inicial tiver continuidade de cores entre azulejos, o seu dual também tem.

O azulejo articulado 14b02 e o seu dual / Articulated tile 14b02 and its dual

Desenhos de Jorge Rezende do azulejo 14b02 e do seu dual, 14c02. O "design" é de Jorge Rezende (2012). Não têm as mesmas propriedades geométricas do azulejo de 1966 de Eduardo Nery.

São ambos azulejos articulados. Pertencem ambos à segunda família de azulejos articulados (há três).

Os azulejos articulados possuem de comum uma “divisão” natural em quatro quadrados iguais que se obtêm traçando os dois segmentos que unem os pontos médios de arestas opostas. Formam uma espécie de matriz com duas linhas e duas colunas (2×2); os dois quadrados de cima são a primeira linha e os de baixo a segunda; os dois quadrados da esquerda são a primeira coluna e os da direita a segunda. Trocando as linhas forma-se um novo azulejo; precisamente o mesmo azulejo se obtém trocando as colunas. Esse azulejo, único, chama-se “o dual” do azulejo de que se partiu; este, é o dual do dual, naturalmente. Tem mais duas propriedades notáveis: é um azulejo articulado; se o azulejo inicial tiver continuidade de cores entre azulejos, o seu dual também tem.

O azulejo articulado 13b02 e o seu dual / Articulated tile 13b02 and its dual

Desenhos de Jorge Rezende do azulejo 13b02 e do seu dual, 13b03. O "design" é de Jorge Rezende (2012). Têm exactamente as mesmas propriedades geométricas do azulejo de 1966 de Eduardo Nery.

São ambos azulejos articulados. Pertencem ambos à primeira família de azulejos articulados (há três).

Os azulejos articulados possuem de comum uma “divisão” natural em quatro quadrados iguais que se obtêm traçando os dois segmentos que unem os pontos médios de arestas opostas. Formam uma espécie de matriz com duas linhas e duas colunas (2×2); os dois quadrados de cima são a primeira linha e os de baixo a segunda; os dois quadrados da esquerda são a primeira coluna e os da direita a segunda. Trocando as linhas forma-se um novo azulejo; precisamente o mesmo azulejo se obtém trocando as colunas. Esse azulejo, único, chama-se “o dual” do azulejo de que se partiu; este, é o dual do dual, naturalmente. Tem mais duas propriedades notáveis: é um azulejo articulado; se o azulejo inicial tiver continuidade de cores entre azulejos, o seu dual também tem.

Os azulejos de 1966 e de 1993 de Eduardo Nery e suas propriedades geométricas

Neste conjunto de desenhos comparo dois azulejos de Eduardo Nery: o de 1966 (usado em Torres Vedras, Mértola e Contumil) e o de 1993 (usado no Tribunal de Setúbal). Do ponto de vista matemático, são, aparentemente, idênticos: têm uma recta de reflexão numa diagonal.

Veja, através de vários painéis que desenhei, que não é assim. As linhas vermelhas representam eixos de reflexão. As verdes, representam eixos de reflexão deslizante. Os pontos com um pequeno quadrado violeta, representam centros de rotação de ordem 4. Os pontos com um pequeno círculo violeta, representam centros de rotação de ordem 2. A fronteira das regiões fundamentais é assinalada com linhas amarelas, quando não coincida com eixos de reflexão.

O azulejo de 1966 de Eduardo Nery e o seu dual

Desenhos de Jorge Rezende do azulejo de 1966 de Eduardo Nery e do seu dual.

São ambos azulejos articulados. Pertencem ambos à primeira família de azulejos articulados (há três).

Os azulejos articulados possuem de comum uma “divisão” natural em quatro quadrados iguais que se obtêm traçando os dois segmentos que unem os pontos médios de arestas opostas. Formam uma espécie de matriz com duas linhas e duas colunas (2×2); os dois quadrados de cima são a primeira linha e os de baixo a segunda; os dois quadrados da esquerda são a primeira coluna e os da direita a segunda. Trocando as linhas forma-se um novo azulejo; precisamente o mesmo azulejo se obtém trocando as colunas. Esse azulejo, único, chama-se “o dual” do azulejo de que se partiu; este, é o dual do dual, naturalmente. Tem mais duas propriedades notáveis: é um azulejo articulado; se o azulejo inicial tiver continuidade de cores entre azulejos, o seu dual também tem. O dual do azulejo de Eduardo Nery tem exactamente as mesmas propriedades geométricas que o azulejo de Nery. Não tem, obviamente, as mesmas propriedades plásticas.

A primeira figura mostra o azulejo de 1966 de Eduardo Nery tendo representadas as suas simetrias. As linhas vermelhas representam eixos de reflexão. Os pontos com um pequeno quadrado violeta, representam centros de rotação de ordem 4. Os pontos com um pequeno círculo violeta, representam centros de rotação de ordem 2.

Faleceu, hoje, EDUARDO NERY

 Eduardo Nery

Image scanned from the book

Eduardo Nery. Exposição Retrospectiva: Tapeçaria, Azulejo, Mosaico, Vitral (1961-2003)

See:

Museu Nacional do Azulejo - Eduardo Nery

Eduardo Nery (Official Website)

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