Exercices

Il est parfaitement utopique d'espérer apprendre des Mathématiques, si élémentaires ou si supérieures soient-elles, sans résoudre des Exercices.
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Nous ne saurions trop insister enfin sur le fait que résoudre un Exercice ne consiste pas seulement à se convaincre, à l'aide d'un «brouillon» fait à la hâte, du fait qu'on en a à peu près compris la solution; si cette méthode est admissible pour les Exercices de calcul numérique, il faut par contre s'efforcer de rédiger intégralement les Exercices plus théoriques, ou l'on doit construire de véritables démonstrations. De cette façon, et uniquement de cette façon, l'étudiant parviendra à acquérir un langage clair et correct, et à utiliser les termes techniques dans leur sens propre, ce qui, en Mathématiques, est le signe le plus certain de la compréhension d'un sujet.

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(Roger Godement, Cours d'algèbre, Exercices)

Le rôle de Mélisande

17. A la suite d'une représentation de Pelléas et Mélisande, un journaliste hésite entre les deux rédactions suivantes :
A) Jamais le rôle de Mélisande n'a été si bien chanté.
B) Jamais si jeune cantatrice, aux si beaux cheveux, n'a si bien chanté Mélisande.
Lequel de ces compliments est le plus fort? (Expliciter non A et non B.)

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(Roger Godement, Cours d'algèbre, Exercices)

Un compte rendu d'un match de football et une note sur des examens

16. Utiliser la règle non(nonA)<=>A pour simplifier la phrase suivante (extraite d'un compte rendu de match de football):
«... il ne se trouvera aucun sportif pour nier que le contraire n'eût été immérité...».

Même question avec le texte suivant:
«Je vous envoie encore une note sur les examens. J'ai tenu à rappeler quelques principes fondamentaux. Je fais allusion à certames «décisions» ou certains comportements qui sont encore, heureusement, peu nombreux. Mais, même s'ils restent peu nombreux et s'ils devaient être confirmés légalement, il ne manquera pas de gens pour dénier toute valeur à la qualité du travail que la très grande majorité des enseignants de la Faculté s'efforce de mener à bien.»

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(Roger Godement, Cours d'algèbre, Exercices)

La bataille d'Alger / The battle of Algiers

15. On considere les deux assertions suivantes :
a): «En plein accord avec M. Robert Lacoste, ministre résidant en Algérie, nous confions la responsabilité de ramener la paix et la sécurité à Alger à la 10ème division parachutiste. Cette unité gagnera en trois mois la bataille d'Alger sans tirer sur les immeubles avec des mitrailleuses lourdes, et sans qu'un seul avion français arrose de balles la Casbah.» (Extrait de la déclaration faite par le General Salan à son procès).
b): «The result was that the «battle of Algiers» became, for the paratroopers who fought it, and for France itself, a pyrrhic victory: it is estimated that out of the Kasbah's total population of 8oooo between 30 and 40 per cent of its active male population was, at one stage or another of the «battle», arrested for questioning and questioning came to involve the use of torture as a basic instrument, as a time-saving device to obtain quick results.» (Edward Behr, correspondant de Time à Alger, dans The Algerian Problem, W. W. Norton. New York, 1961).
Ces assertions sont-elles logiquement incompatibles? (On ne demande pas de décider si elles sont vraies ou fausses).

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(Roger Godement, Cours d'algèbre, Exercices)

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THE BATTLE OF ALGIERS trailer

La meilleure façon de prouver qu'il existe des banquiers honnêtes

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(Roger Godement, Cours d'algèbre)

L'activité des mathématiciens en chair et en os

(...) les mathématiciens professionnels cherchent à s'engager dans les voies les plus naturelles possibles, celles dans lesquelles leur intuition géométrique ou analytique ou arithmétique — car il existe une intuition arithmétique — peut s'exercer.
L'activité des mathématiciens en chair et en os diffère de celle des machines sur un autre point encore: les premiers ne sont pas en mesure de se conformer strictement à la rigueur logique absolue dont feraient preuve les secondes si elles existaient. Dans la pratique, les textes mathématiques les mieux écrits comportent une multitude de «trous» en l'absence desquels la lecture de ces textes serait un exercice intolérable. Ces lacunes logiques sont sans importance, parce que chacun est parfaitement convaincu du fait qu'on pourrait les combler si on le désirait — en fait, il est même probable que le lecteur débutant ne les apercevra pas. On estime aujourd'hui qu'un texte mathématique est «parfaitement» correct lorsqu'il a acquis le degré de clarté et de rigueur qu'on a toujours trouvé dans les exposés d'Arithmétique élémentaire (et c'est pourquoi il est fort regrettable que cette branche des Mathématiques n'occupe pas plus de place dans l'enseignement secondaire français); l'immense majorité des théories mathématiques peuvent maintenant s'exposer dans ce style, et cette possibilité a pour corollaire le fait qu'on n'admet plus, aujourd'hui, le genre d'exposé décoratif qui permettait encore, il n'y a pas si longtemps, à certains mathématiciens, de briguer à la fois l'Académie des Sciences et l'Académie Française.

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(Roger Godement, Cours d'algèbre)

Le langage réel des Mathématiques

On a calculé que, si l’on cherchait à écríre en langage formalisé un objet mathématique aussi simple (en apparence...) que le nombre 1, on trouverait un assemblage comportant plusieurs dizaines, de milliers de signes (les signes fondamentaux sont en très petit nombre, mais chacun d'eux peut naturellement être répété un grand nombre de fois dans un même assemblage). Le mathématicien qui essaierait de manipuler de pareils assemblages ressemblerait à l’alpiniste qui, pour choisir ses points d'appui sur une paroi rocheuse, examinerait celle-ci au microscope électronique.
On utilise donc, dans la pratique, une multitude d’abréviations (par exemple la lettre grecque π, le signe +, des mots du langage ordinaire, tels que «nombre», «point», «droite», «fonction», et ainsi de suite); celles-ci sont destinées à représenter par de nouveaux signes simples des assemblages compliqués de lettres et de signes fondamentaux, ou même des assemblages faisant intervenir en outre des signes abréviateurs déjà introduits. Quand il a introduit suffisamment d'abréviations d'assemblages de signes fondamentaux, puis d'abréviations d'assemblages d'abrétions, puis d'abréviations d'assemblages d'abréviations d'assemblages d'abréviations, et ainsi de suite, le mathématicien cesse de penser (*) à la définition complète et détaillée des objets qu'il a ainsi construits; il ne garde présent à l'esprit que la façon de passer d'un échelon de complication à l'échelon immédiatement précédent (ce qui constitue la définition, au sens usuel du terme, de l'abréviation considérée), et ne cherche pas à redescendre de proche en proche jusqu'au langage formalisé; à la limite, on en arrive souvent à raisonner sur les abréviations introduites comme si elles constituaient des signes primitifs au même titre que les signes fondamentaux du langage formalisé (c'est ainsi que Hilbert, dans son étude des fondements de la Géométrie, introduisait a priori trois notions primitives — celles de point, droite et plan — sans chercher aucunement à les définir, et en se bornant à en dresser le mode d'emploi).
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(*) On devrait mênie dire: ne peut plus penser.

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(Roger Godement, Cours d'algèbre)

Sur la chance des meilleurs ouvrages de Mathématiques être écrits par des Français

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Enfin, et contrairement à toutes les traditions en matière d'ouvrages destinés aux débutants, on a cru devoir présenter au lecteur une Bibliographie formée de titres soigneusement choisis, et dont beaucoup sont dus à des mathématiciens de première grandeur. Il nous paraît utile que le lecteur se procure et utilise quelques-uns de ces livres, afin de prendre connaissance d'autres points de vue possibles, et de s'habituer à consulter des livres.

Ces ouvrages, pour la plupart étrangers, contribueront peut-être d'autre part à faire prendre conscience à beaucoup de jeunes gens, mystifiés dès l'âge de vingt ans par une propagande écrasante, du fait que même en négligeant les «peuplades inférieures» de nos grands parents, les Français ne forment qu'un îlot de cinquante millions d'hommes au milieu d'un océan de 700 millions de Blancs; or ceux-ci vont comme nous à l'école dês l'âge de six ans, et y restent même, dans certains pays, plus longtemps que nous. Il est facile d'en déduire que les meilleurs ouvrages de Mathématiques (par exemple) ont environ une chance sur quatorze d'être écrits par des gens «bien de chez nous», et c'est justement ce que l'expérience confirme en ce qui concerne l'Algèbre élémentaire. Nous nous en voudrions de ne pas le faire savoir alors que certains jeunes, qui ne sont pourtant pas, eux, responsables des quelques centaines de milliers de cadavres qui encombrent les consciences de leurs pères, se laissent gagner par le nationalisme, le racisme et la xénophobie.

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(Roger Godement, Cours d'algèbre, Préface, Juillet 1962)

Le premier devoir des mathématiciens

La Cattura dell'ebreo

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Au risque de provoquer, chez certains, les sentiments d'horreur et de consternation que Paolo Uccello a si merveilleusement représentés dans la Profanation de l'Hostie, il nous faut bien dire du reste, car la question se pose de plus en plus, notre désaccord avec les nombreuses personnalités qui, actuellement, demandent aux scientifiques en general, et aux mathématiciens en particulier, de former les milliers de techniciens dont nous aurions, parait-il, besoin de toute urgence pour survivre. Les choses étant ce qu'elles sont, il nous semble que, dans les «grandes» nations sur-développées scientifiquement et techniquement ou nous vivons, le premier devoir des mathématiciens, et de beaucoup d'autres, serait plutôt de fournir ce qu'on ne leur demande pas — à savoir des hommes capables de réfléchir par eux-mêmes, de dépister les arguments faux et les phrases ambiguës, et aux yeux desquels la diffusion de la vérité importerait infiniment plus que, par exemple, la Télévision planétaire en couleurs et en relief: des hommes libres, et non pas des robots pour technocrates. Il est tristement évident que la meilleure façon de former ces hommes qui nous manquent n'est pas de leur enseigner les sciences mathématiques et physiques, ces branches du savoir ou la bienséance consiste, en premier lieu, à faire semblant d'ignorer jusqu'à l'existence même de problèmes humains, et auxquelles nos sociétés hautement civilisées accordent, ce qui devrait paraître louche, la première place. Mais même en enseignant des Mathématiques, on peut du moins essayer de donner aux gens le goût de la liberté et de la critique, et les habituer à se voir traités en êtres humains doués de la faculté de comprendre.

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(Roger Godement, Cours d'algèbre, Préface)

Est-il inutile, ou même nuisible, d'essayer de faire preuve d'une trop grande rigueur?

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Beaucoup de gens, et notamment la plupart de ceux qui se bornent à utiliser les Mathématiques, prétendent que lorsqu'on écrit pour les débutants il est inutile, ou même nuisible, d'essayer de faire preuve d'une trop grande rigueur, de tout démontrer, d'introduire des notions trop générales, d'utiliser une terminologie strictement définie et dépourvue de discours fleuris. S'ils avaíent raison, cela voudrait dire que, contrairement aux mathématiciens professionnels, et au bon sens, les débutants comprennent d'autant plus facilement un texte mathématique qu'il est plus mal rédigé. Les latinistes professionnels, c'est leur métier, comprennent les inscriptions tronquées qu'on extrait tous les jours du sous-sol de l'Italie, mais il n'est encore venu à l'idée d'aucun professeur de Latin de les utiliser pour enseigner cette langue aux débutants — on préfère avoir recours à des grammaires bien écrites... Il en est de même en Mathématiques, et lorsqu'il s'agit d'interpréter le sens d'une définition obscure, de compléter une démonstration insuffisante, ou de déceler les véritables raisons d'un théorème, on ne peut pas raisonnablement espérer que le débutant fasse preuve du même flair que le professionnel.

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(Roger Godement, Cours d'algèbre, Préface)