Sunday, April 28, 2013
Thursday, April 25, 2013
25 de Abril: «Esta é a madrugada que eu esperava»
Selo da CNSPP. Autor: Eduardo Nery
«1969 (...) [Eduardo Nery] Integra-se e participa activamente na Associação [sic] Nacional de Socorro aos Presos Políticos, para a qual cria o seu logotipo.»
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(imagem copiada de aqui)
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25 de Abril
«1969 (...) [Eduardo Nery] Integra-se e participa activamente na Associação [sic] Nacional de Socorro aos Presos Políticos, para a qual cria o seu logotipo.»
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25 de Abril
Esta é a madrugada que eu esperava
O dia inicial inteiro e limpo
Onde emergimos da noite e do silêncio
E livres habitamos a substância do tempo
Sunday, April 21, 2013
Estudos para painéis de azulejos com um centro de rotação de ordem 2 no meio
Consideramos o caso em que há um centro de rotação no meio do azulejo e utilizaremos, para começar, um azulejo sem outras simetrias próprias como na Figura d em Simetrias próprias dos azulejos.
Uma das possibilidades mais evidentes e não triviais, mas elementares, é a de reunir quatro azulejos em torno de um dos vértices e, em seguida, obter um painel fazendo translações.
Para maior clareza e para considerar todas as situações de uma forma exaustiva, numeremos os vértices no sentido direto (o contrário ao dos ponteiros do relógio): 1, 2, 1 e 2. O vértice 1 é o do canto superior direito na posição em que está o azulejo da Figura 1d em Simetrias próprias dos azulejos. Em torno desse vértice reuniremos mais três azulejos. Para cada um dos três restantes há duas maneiras de os colocar o que dá, ao todo, 8 (2×2×2) possibilidades. De facto, notando os três cantos restantes p, q e r, como mostram as Figuras 6-8 em O azulejo articulado de Eduardo Nery, formamos um quadrado com quatro azulejos (1pqr). Ordenando todas as possibilidades por ordem crescente, obtemos que no conjunto, de quatro azulejos de ordem n, n é dado pela fórmula n=4(p-1)+2(q-1)+ r. Para p, q, r =1, 2, vem n=1, 2, ..., 8.
Depois, trata-se de fazer as translações. Há três possibilidades para as translações: paralelamente aos lados (translações de duas unidades na vertical e translações de duas unidades na horizontal, como mostra a Figura 6 em O azulejo...); translações de duas unidades na horizontal e translações oblíquas (de duas unidades na vertical e de uma unidade na horizontal, como mostra a Figura 7 em O azulejo...); translações de duas unidades na vertical e translações oblíquas (de duas unidades na horizontal e de uma unidade na vertical, como mostra a Figura 8 em O azulejo...). Tudo somado, há 24 (8×3) possibilidades, numeradas de 1 a 8, de 1’ a 8’ e de 1’’ a 8’’, respectivamente.
Nos 24 painéis possíveis, há repetições e equivalências no sentido em que um painel pode ser obtido de outro por translações e rotações. O leitor verifique que há 7 possibilidades diferentes, contadas assim:
1; 2=3, 5, 8; 4=7, 7', 4''; 6=6', 6''; 1'=4', 1'', 7''; 2'=5', 8', 3''; 3'=2'', 5'', 8''.
Suponhamos agora que o azulejo tem eixo de reflexão numa diagonal (Figura g em Simetrias...). Reservemos o número 1 para os vértices que contêm essa diagonal. Colocando o azulejo ao espelho, vê-se precisamente a mesma imagem só que os vértices 2 trocam. Colocando os quatro azulejos ao espelho, os azulejos contados no sentido direto, aparecem na imagem no sentido retrógrado. O leitor verifique que há: com reflexão, 5; sem reflexão: 2 (2' e 3' são reflexos um do outro); se, de cada par de painéis reflexos um do outro, escolhermos apenas um, há 6 possibilidades.
Uma das possibilidades mais evidentes e não triviais, mas elementares, é a de reunir quatro azulejos em torno de um dos vértices e, em seguida, obter um painel fazendo translações.
Para maior clareza e para considerar todas as situações de uma forma exaustiva, numeremos os vértices no sentido direto (o contrário ao dos ponteiros do relógio): 1, 2, 1 e 2. O vértice 1 é o do canto superior direito na posição em que está o azulejo da Figura 1d em Simetrias próprias dos azulejos. Em torno desse vértice reuniremos mais três azulejos. Para cada um dos três restantes há duas maneiras de os colocar o que dá, ao todo, 8 (2×2×2) possibilidades. De facto, notando os três cantos restantes p, q e r, como mostram as Figuras 6-8 em O azulejo articulado de Eduardo Nery, formamos um quadrado com quatro azulejos (1pqr). Ordenando todas as possibilidades por ordem crescente, obtemos que no conjunto, de quatro azulejos de ordem n, n é dado pela fórmula n=4(p-1)+2(q-1)+ r. Para p, q, r =1, 2, vem n=1, 2, ..., 8.
Depois, trata-se de fazer as translações. Há três possibilidades para as translações: paralelamente aos lados (translações de duas unidades na vertical e translações de duas unidades na horizontal, como mostra a Figura 6 em O azulejo...); translações de duas unidades na horizontal e translações oblíquas (de duas unidades na vertical e de uma unidade na horizontal, como mostra a Figura 7 em O azulejo...); translações de duas unidades na vertical e translações oblíquas (de duas unidades na horizontal e de uma unidade na vertical, como mostra a Figura 8 em O azulejo...). Tudo somado, há 24 (8×3) possibilidades, numeradas de 1 a 8, de 1’ a 8’ e de 1’’ a 8’’, respectivamente.
Nos 24 painéis possíveis, há repetições e equivalências no sentido em que um painel pode ser obtido de outro por translações e rotações. O leitor verifique que há 7 possibilidades diferentes, contadas assim:
1; 2=3, 5, 8; 4=7, 7', 4''; 6=6', 6''; 1'=4', 1'', 7''; 2'=5', 8', 3''; 3'=2'', 5'', 8''.
Suponhamos agora que o azulejo tem eixo de reflexão numa diagonal (Figura g em Simetrias...). Reservemos o número 1 para os vértices que contêm essa diagonal. Colocando o azulejo ao espelho, vê-se precisamente a mesma imagem só que os vértices 2 trocam. Colocando os quatro azulejos ao espelho, os azulejos contados no sentido direto, aparecem na imagem no sentido retrógrado. O leitor verifique que há: com reflexão, 5; sem reflexão: 2 (2' e 3' são reflexos um do outro); se, de cada par de painéis reflexos um do outro, escolhermos apenas um, há 6 possibilidades.
Se, em vez de ser na diagonal o eixo de reflexão for numa mediana (Figura f em Simetrias...), as possibilidades repartem-se assim: com reflexão, 7; sem reflexão: 0.
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Ver:
Thursday, April 18, 2013
Azulejos articulados com um eixo de reflexão numa mediana
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Apresenta-se aqui uma tabela com uma listagem de painéis compostos por cópias de um único azulejo com um eixo de reflexão numa mediana. Na primeira coluna está o número do painel (para ver o que significa este número, consultar O azulejo articulado de Eduardo Nery; aqui, a mediana reflecte o vértice 1 no vértice 2 e o vértice 3 no vértice 4). Na segunda coluna diz-se se o painel é reflexo ou, no caso de não o ser, qual é o número do painel que é o seu reflexo. Nas colunas seguintes estão as áreas e os grupos de simetria referentes a azulejos articulados. As discrepâncias entre eles e os azulejos comuns estão apenas em três painéis: o 11 (nos "comuns" a área é 2 e o grupo pg); o 28 (nos "comuns" a área é 1 e o grupo pm); e o 58 (nos "comuns" a área é 2 e o grupo c2mm). Estes azulejos "comuns", por vezes belíssimos, podem ser vistos nas ligações que, a seguir, se indicam.
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Ver:
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Wednesday, April 17, 2013
O azulejo de 1966 de Eduardo Nery comparado com um azulejo só com um eixo de reflexão numa diagonal
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Apresenta-se aqui uma tabela com uma listagem de painéis. Na primeira coluna está o número do painel (para ver o que significa este número, consultar O azulejo articulado de Eduardo Nery). Na segunda coluna diz-se se o painel é reflexo ou, no caso de não o ser, qual é o número do painel que é o seu reflexo. Na terceira coluna está a área de uma região fundamental. Na quarta coluna está o grupo de simetria. A vermelho, estão os dados do azulejo comum, só com um eixo de reflexão numa diagonal, nos cinco casos em que há divergências com o azulejo de Eduardo Nery. Estes azulejos "comuns", por vezes belíssimos, podem ser vistos nas ligações que, a seguir, se indicam.
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Ver:
Tuesday, April 16, 2013
Simetrias próprias dos azulejos
A figura representa todos os oito grupos de simetrias próprias que podem ocorrer nos azulejos quadrados. Pequenos círculos com um número são centros de rotação (de ordem 2 ou 4). Segmentos vermelhos são eixos de reflexão. As simetrias próprias de um azulejo não traduzem completamente as propriedades matemáticas do azulejo quando inserido num painel, como se pode constatar no artigo O azulejo articulado de Eduardo Nery.
Para ver diferentes azulejos com estas simetrias, consulte:
Simetrias próprias de azulejos de Almada Negreiros: b, c, d, e, h
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Ver:
Monday, April 15, 2013
Sunday, April 14, 2013
Simetrias próprias de azulejos de Almada Negreiros
Fotografia retirada de aqui.
Fotografia retirada de aqui.
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Ver ainda:
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Aqui estão azulejos de diversos tipos: azulejos com um eixo de reflexão numa diagonal, azulejos com um eixo de reflexão numa mediana, azulejos com um centro de rotação de ordem 2 no meio e azulejos com centro de rotação de ordem 4 no meio. Refiro-me só aos azulejos com traços escuros; os outros, sem traço escuros, têm um centro de rotação de ordem 4 no meio e quatro eixos de reflexão (dois nas diagonais e dois nas medianas).
Aqui estão azulejos de diversos tipos: azulejos com um eixo de reflexão numa diagonal, azulejos com um eixo de reflexão numa mediana, azulejos com um centro de rotação de ordem 2 no meio e azulejos com centro de rotação de ordem 4 no meio. Refiro-me só aos azulejos com traços escuros; os outros, sem traço escuros, têm um centro de rotação de ordem 4 no meio e quatro eixos de reflexão (dois nas diagonais e dois nas medianas).
Saturday, April 13, 2013
Simetrias próprias de azulejos de Alexandre Mancini
Azulejos com um centro de rotação de ordem 2 no meio e dois eixos de reflexão nas medianas.
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Friday, April 12, 2013
Simetrias próprias de azulejos de Athos Bulcão: Rio Atlântica Hotel - Rio de Janeiro
Painel de azulejos, Terraço do Rio Atlântica Hotel, 1989. Foto: Tuca Reinés
Aqui estão azulejos de diversos tipos: azulejos com um eixo de reflexão numa diagonal, azulejos com um centro de rotação de ordem 2 no meio e azulejos com centro de rotação de ordem 2 no meio e dois eixos de reflexão nas diagonais.
Ver neste blogue:
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Thursday, April 11, 2013
Simetrias próprias de azulejos de Raul Lino
Desenhos de Jorge Rezende (de um azulejo de Raul Lino)
Azulejos com um eixo de reflexão numa mediana
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Ver neste blogue:
Wednesday, April 10, 2013
Simetrias próprias de azulejos do Palácio Nacional de Sintra
Este e o seu reflexo são azulejos com um centro de rotação de ordem 2 no meio
Desenhos de Jorge Rezende
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Tuesday, April 09, 2013
Simetrias próprias de azulejos de Athos Bulcão: Igrejinha Nossa Senhora de Fátima
Azulejos com um eixo de reflexão numa mediana, o da pomba, e azulejos com um centro de rotação de ordem 4 no meio e quatro eixos de reflexão (dois nas diagonais e dois nas medianas), o da estrela.
Painel de azulejos, Entrequadras 307/308 Sul, Igrejinha Nossa Senhora de Fátima, 1957. Foto: Ricardo Padue
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Monday, April 08, 2013
Simetrias próprias de azulejos de Athos Bulcão: Residência Sérgio Parada
Athos Bulcão com um azulejo sem qualquer simetria própria
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Sunday, April 07, 2013
Simetrias próprias de azulejos de Athos Bulcão: Centro Cultural Missionário da CNBB
Azulejos com um eixo de reflexão numa diagonal
Painel de azulejos, Centro Cultural Missionário da CNBB, 1995.. Foto: Edgar César Filho
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Athos Bulcão
Ver ainda:
http://www.fundathos.org.br/
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Athos Bulcão
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http://www.fundathos.org.br/
