Wednesday, March 27, 2013

Articulated tiles / Azulejos articulados

Consider infinitely many copies of a single square tile and cover the plane with them, without gaps and without overlaps (a tiling of the plane), with the vertices making a square point lattice. Choose a point in a tile. If there is a tiling of the plane where this point is a rotation center of order n, one says that it is a rotation center of order n of the tile itself.
Tiles can only have two or four rotation centers of order 4 located in the middle of the edges.
Articulated tiles have two, and only two, rotation centers of order 4 in the middle of two edges; this means that the other two are not rotation centers of order 4. Moreover, they have a natural ''division'' in the four squares that one can obtain by drawing the two lines that connect the middle of oposite edges. These squares form a kind of matrix with two rows and two columns (2×2).
Articulated tiles must also have some other properties that classify them in three disjoint families.
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Properties of the three families of articulated tiles:
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a) The first family of articulated tiles. The two rotation centers of order 4 are located in the middle of two edges with a common vertice. Each one of the four small squares of the tile remain invariant under a rotation by an angle of 180º.

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b) The second family of articulated tiles. The two rotation centers of order 4 are located in the middle of two opposite edges. If one translates (exchanges) the two small squares of each diagonal of the tile, the tile does not change.
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c) The third family of articulated tiles. The two rotation centers of order 4 are located in the middle of two opposite edges. Each one of the four small squares of the tile remain invariant under a rotation by an angle of 180º.
 
See also:

Monday, March 25, 2013

O azulejo articulado 15b01 e o seu dual / Articulated tile 15b01 and its dual

Desenhos de Jorge Rezende do azulejo 15b01 e do seu dual. O "design" é de Jorge Rezende (2012). Não têm as mesmas propriedades geométricas do azulejo de 1966 de Eduardo Nery.
São ambos azulejos articulados. Pertencem ambos à terceira família de azulejos articulados (há três).
Os azulejos articulados possuem de comum uma “divisão” natural em quatro quadrados iguais que se obtêm traçando os dois segmentos que unem os pontos médios de arestas opostas. Formam uma espécie de matriz com duas linhas e duas colunas (2×2); os dois quadrados de cima são a primeira linha e os de baixo a segunda; os dois quadrados da esquerda são a primeira coluna e os da direita a segunda. Trocando as linhas forma-se um novo azulejo; precisamente o mesmo azulejo se obtém trocando as colunas. Esse azulejo, único, chama-se “o dual” do azulejo de que se partiu; este, é o dual do dual, naturalmente. Tem mais duas propriedades notáveis: é um azulejo articulado; se o azulejo inicial tiver continuidade de cores entre azulejos, o seu dual também tem.

Saturday, March 23, 2013

O azulejo articulado 14b02 e o seu dual / Articulated tile 14b02 and its dual

Desenhos de Jorge Rezende do azulejo 14b02 e do seu dual, 14c02. O "design" é de Jorge Rezende (2012). Não têm as mesmas propriedades geométricas do azulejo de 1966 de Eduardo Nery.
São ambos azulejos articulados. Pertencem ambos à segunda família de azulejos articulados (há três).
Os azulejos articulados possuem de comum uma “divisão” natural em quatro quadrados iguais que se obtêm traçando os dois segmentos que unem os pontos médios de arestas opostas. Formam uma espécie de matriz com duas linhas e duas colunas (2×2); os dois quadrados de cima são a primeira linha e os de baixo a segunda; os dois quadrados da esquerda são a primeira coluna e os da direita a segunda. Trocando as linhas forma-se um novo azulejo; precisamente o mesmo azulejo se obtém trocando as colunas. Esse azulejo, único, chama-se “o dual” do azulejo de que se partiu; este, é o dual do dual, naturalmente. Tem mais duas propriedades notáveis: é um azulejo articulado; se o azulejo inicial tiver continuidade de cores entre azulejos, o seu dual também tem.

Wednesday, March 20, 2013

O azulejo articulado 13b02 e o seu dual / Articulated tile 13b02 and its dual

Desenhos de Jorge Rezende do azulejo 13b02 e do seu dual, 13b03. O "design" é de Jorge Rezende (2012). Têm exactamente as mesmas propriedades geométricas do azulejo de 1966 de Eduardo Nery.
São ambos azulejos articulados. Pertencem ambos à primeira família de azulejos articulados (há três).
Os azulejos articulados possuem de comum uma “divisão” natural em quatro quadrados iguais que se obtêm traçando os dois segmentos que unem os pontos médios de arestas opostas. Formam uma espécie de matriz com duas linhas e duas colunas (2×2); os dois quadrados de cima são a primeira linha e os de baixo a segunda; os dois quadrados da esquerda são a primeira coluna e os da direita a segunda. Trocando as linhas forma-se um novo azulejo; precisamente o mesmo azulejo se obtém trocando as colunas. Esse azulejo, único, chama-se “o dual” do azulejo de que se partiu; este, é o dual do dual, naturalmente. Tem mais duas propriedades notáveis: é um azulejo articulado; se o azulejo inicial tiver continuidade de cores entre azulejos, o seu dual também tem.

Thursday, March 07, 2013

Os azulejos de 1966 e de 1993 de Eduardo Nery e suas propriedades geométricas

Neste conjunto de desenhos comparo dois azulejos de Eduardo Nery: o de 1966 (usado em Torres Vedras, Mértola e Contumil) e o de 1993 (usado no Tribunal de Setúbal). Do ponto de vista matemático, são, aparentemente, idênticos: têm uma recta de reflexão numa diagonal.
Veja, através de vários painéis que desenhei, que não é assim. As linhas vermelhas representam eixos de reflexão. As verdes, representam eixos de reflexão deslizante. Os pontos com um pequeno quadrado violeta, representam centros de rotação de ordem 4. Os pontos com um pequeno círculo violeta, representam centros de rotação de ordem 2. A fronteira das regiões fundamentais é assinalada com linhas amarelas, quando não coincida com eixos de reflexão.

Wednesday, March 06, 2013

O azulejo de 1966 de Eduardo Nery e o seu dual


Desenhos de Jorge Rezende do azulejo de 1966 de Eduardo Nery e do seu dual.
São ambos azulejos articulados. Pertencem ambos à primeira família de azulejos articulados (há três).
Os azulejos articulados possuem de comum uma “divisão” natural em quatro quadrados iguais que se obtêm traçando os dois segmentos que unem os pontos médios de arestas opostas. Formam uma espécie de matriz com duas linhas e duas colunas (2×2); os dois quadrados de cima são a primeira linha e os de baixo a segunda; os dois quadrados da esquerda são a primeira coluna e os da direita a segunda. Trocando as linhas forma-se um novo azulejo; precisamente o mesmo azulejo se obtém trocando as colunas. Esse azulejo, único, chama-se “o dual” do azulejo de que se partiu; este, é o dual do dual, naturalmente. Tem mais duas propriedades notáveis: é um azulejo articulado; se o azulejo inicial tiver continuidade de cores entre azulejos, o seu dual também tem. O dual do azulejo de Eduardo Nery tem exactamente as mesmas propriedades geométricas que o azulejo de Nery. Não tem, obviamente, as mesmas propriedades plásticas.
A primeira figura mostra o azulejo de 1966 de Eduardo Nery tendo representadas as suas simetrias. As linhas vermelhas representam eixos de reflexão. Os pontos com um pequeno quadrado violeta, representam centros de rotação de ordem 4. Os pontos com um pequeno círculo violeta, representam centros de rotação de ordem 2.

Friday, February 15, 2013

Portuguese tiles: Azulejaria de Eduardo Nery / Eduardo Nery tilings


Fotografia de Eduardo Nery. Veja mais fotografias aqui:
Agencia Montepio Geral, Coimbra - AZULEJO / TILE
Fotografia de Eduardo Nery. Veja mais fotografias aqui:
Novo Jardim e Laranjal no Palácio Fronteira, Lisboa- Azulejo/Tile
 
Fotografia de Eduardo Nery. Veja mais fotografias aqui: 
 
Fotografia de Eduardo Nery. Veja mais fotografias aqui: 
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E não faço comentários.
As obras aí estão em imagens, que dizem muito mais e melhor do que eu diria.
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Eduardo Nery
Image scanned from the book
See:
Eduardo Nery (Official Website)
(in this blog)

Wednesday, February 06, 2013

The magic of articulated tiles 14b02

Video:
A SHORT FILM DIRECTED BY JORGE REZENDE
This tile 14b02 was designed in 2012 by Jorge Rezende.
Although it is also articulated, it has not the mathematical properties of the 1966 Eduardo Nery tile.
Nevertheless, articulated tiles theory is inspired by this work of the portuguese Artist.
Tile 14b02 has the following nontrivial symmetries: two rotation centers of order 4, two translations in the diagonals, four reflection lines.

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See:

Friday, January 11, 2013

«CIÊNCIA E ARTE» no Museu Nacional de Soares dos Reis (de 19 de Janeiro a 24 de Fevereiro)

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Ver:

Thursday, January 10, 2013

The magic of articulated tiles 14b02

Video:
A SHORT FILM DIRECTED BY JORGE REZENDE
This tile 14b02 was designed in 2012 by Jorge Rezende.
Although it is also articulated, it has not the mathematical properties of the 1966 Eduardo Nery tile.
Nevertheless, articulated tiles theory is inspired by this work of the portuguese Artist.
Tile 14b02 has the following nontrivial symmetries: two rotation centers of order 4, two translations in the diagonals, four reflection lines.

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See:

Tuesday, January 01, 2013

The magic of articulated tiles 15b01

Video:
A SHORT FILM DIRECTED BY JORGE REZENDE
This tile 15b01 was designed in 2012 by Jorge Rezende.
Although it is also articulated, it has not the mathematical properties of the 1966 Eduardo Nery tile.
Nevertheless, articulated tiles theory is inspired by this work of the portuguese Artist.
Tile 15b01 has the following nontrivial symmetries: two rotation centers of order 4, four rotation centers of order 2, four reflection lines.

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See:

Saturday, December 29, 2012

The magic of articulated tiles 13b02

Video:
A SHORT FILM DIRECTED BY JORGE REZENDE
This tile 13b02 was designed in 2012 by Jorge Rezende.

It has exactly the same mathematical properties as the 1966 Eduardo Nery tile.

This means that its tilings have exactly the same symmetry groups: the same reflection lines, the same rotation centers and the fundamental regions have the same shape and area.
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See:

Tuesday, December 18, 2012

The magic of articulated tiles 13b02


 
Video:
A SHORT FILM DIRECTED BY JORGE REZENDE
This tile 13b02 was designed in 2012 by Jorge Rezende.
It has exactly the same mathematical properties as the 1966 Eduardo Nery tile.
This means that its tilings have exactly the same symmetry groups: the same reflection lines, the same rotation centers and the fundamental regions have the same shape and area.
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See:

Saturday, November 24, 2012

Dia Nacional da Cultura Científica e Tecnológica


Rómulo Vasco da Gama de Carvalho (Lisboa, 24 de Novembro de 1906 - Lisboa, 19 de Fevereiro de 1997)
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Neste blogue:

Monday, November 12, 2012

O julgamento de Alonso Ribelas (Aquilino Ribeiro, Quando os lobos uivam)

LEVANTE-SE o segundo réu! — proferiu na sua voz pastosa e forte, revigorizada pelo descanso da noite, ao abrir às dez da manhã a audiência, o desembargador Octávio Rouvinho. — Alonso Ribelas, não é? Antigo regedor da freguesia. Proprietário, natural de Favais Queimados, casado? Sabe de que é acusado?
— Ao certo não sei, não senhor — respondeu Alonso Ribelas, um homem na força da vida, entroncado, guedelhudo, com grandes e nervosas mãos, as manápulas do agricultor pobre que tem levado a vida a virar a leiva, a fazer da pedra terra, olhos mansos de boi, dentuça sólida. Bem vestido para o tronco de nozelhas que era, uma gravata rubra, com pintinhas pretas, parecia uma facada aberta na pescoceira de bronze. Na estrutura e nos modos, tipo de Sancho Pança.
— É acusado de ser um dos cabeças de motim no Perímetro Florestal da Serra dos Milhafres. O réu foi um dos que deram fogo...?
— Nunca soube pegar duma arma.
— Não fez o serviço militar?
— Não senhor.
— Com esse corpanzil?
— Livrei-me.
— Remiu-se, quer dizer.
— Não, senhor, livrei-me na Junta. Bem haja quem pôs a mão por mim, que foi o pai do senhor Dr. Labão aqui presente.
Ao corregedor, Dr. José Ramos, pareceu aquele solto falar irreverência ou aleivosia contra o Estado, cominado de venialidade num dos seus órgãos, e acudiu em tom de desfastio:
— Passou-se isso no tempo da outra senhora...?
— Saiba V. Ex.a que fui casado uma só vez.
Estalaram risos na assistência. O próprio senhor Presidente desanuviou o parecer carrancudo. Ao digno assessor porém o desconchavo soou falso, afigurando-se-lhe o homem zorato ou desbocado.
— O réu está-nos a sair um grande maloio...
— Saloio, não senhor. Sou serrano. Decorreu um pequeno silêncio durante o qual o corregedor se compenetrou, olhando em face, da atitude hílare do tribunal. E tentou um retruque prudente, cortando todo o campo ao contra-ataque:
— Afinal se o isentaram na Inspecção é porque algum achaque lhe descobriram. Nos miolos ou nos ouvidos. O réu ouve mal. Mas adiante: perguntava-lhe o meretíssimo Presidente se não foi dos que deram fogo...?
— Nem com fuzil e pederneira, que não sou fumador.
— Mas empunhava uma gancha... uma faca de matar os porcos... um estadulho... Viram-no equipado, bota de carda no pé...
— Por essa altura andava descalço, senhor juiz, que trazia um calo assanhado no calcanhar que não me consentiria calçar a botina.
— Não é o que rezam os autos. — Lendo: Marchava à frente do bando, soltando grandes urros e gritos de viva e de morra...
— É falso. Eu nem aos lobos posso berrar que se me abre o peito. Há tempos andava numa propriedade que tenho a um lugar chamado a Cheleira do Negro, veio uma alcateia e levou-me uma borrega mesmo diante dos olhos. Pois com a folha cheia de gente ninguém me ouviu berrar à coa! tão sumida era a minha voz.
— Não é a impressão que dá, ouvindo-o falar.
— Em conversa, dizes tu, digo eu, posso passar um dia inteiro que não me canso.
— Mas que grande ratão! — proferiu o corregedor José Ramos Coelho voltando-se para o Presidente, como quem diz: tome conta dele e meta-lhe bandarilhas de fogo.
De facto o presidente, empertigando-se no cadeiral, fez um cite com a cabeça e lançou:
— Que política é a sua?
— Saiba Vossa Senhoria que eu de polítigas não percebo patavina. Não leio gazetas.
— Já foi regedor.
— Já fui a pedido do pai do Sr. Dr. Labão que me livrou da mochila.
— Nunca votou?
— Ah, lá isso votei, mas agora cortaram-me o nome para não votar contra o Governo. Nós todos na serra estamos à uma contra o Governo.
— Mas sabe quem governa?
— Quem governa? Sei lá quem governa? Quem governa o mundo, sempre ouvi dizer que é o Raimundo; deve ser algum filho de má mãe, que as coisas vão de mal a pior.
— O réu está a ser acintoso. É parvo ou faz-se?
— Nasci com os meus sentidos todos. Lá em dizer que quem governa o mundo deve ser algum filho de má mãe, não volto atrás; que hei-de eu dizer, cada vez mais pobre, mais carregado de tributos, mais frígido do arrocho, a soga cada vez mais tesa?
— Não sabe o que diz e é o que lhe vale. À barra da direcção estão grandes homens. Se tivesse uma centelha do senso que neles abunda, não se achava no banco dos réus. Nunca os ouviu falar?
— Nunca ouvi eu outra coisa. Quer que lhe diga, são ladrações num outeiro. Eu quanto mais trabalho e mais poupo, mais miserável me vejo.
— Vamos ao que importa: confessa haver tomado parte no barulho da serra dos Milhafres?
—Confesso, quê? Eu não posso confessar ter feito aquilo que não fiz. Nunca eu veja a luz da salvação se minto.
— Mas foi na turba-multa?
— Fui até certa altura.
— Pois não devia ter ido. Um só passo que deu tornou-o cúmplice.
— Sempre queria ver quem nos roubava...
— Ou quem poderia contribuir para melhorar a sua sorte... Ora diga-me cá: Entraram muitas pessoas no rebuliço?
— Quantos nasceram na malfadada serra dos Milhafres e ouvem pelas noites de inverno uivar o lobo.
— Assistiu à sedição?
— A quê?
— À zaragata?
— Não senhor, a certa altura meu compadre Chico Barrelas disse-me: Voltamos para trás, Alonso. Esta gente corre à perdição. Fomo-nos meter na loja do tio Lêndeas a petiscar e a jogar as cartas.
— Foi um dos que andaram a pregar a guerra ao Governo?
— Não, senhor, ninguém pregou a guerra ao Governo. Nós todos somos gente de paz. Tomáramos nós que nos deixassem. O que se dizia de povo para povo é que íamos ficar desgraçados, sem coiro e camisa.
O desembargador Rouvinho Estronca Briteiros abriu os braços, sinal de que instar aquele brutamontes, por jeito ou ronha arvorado em rei da madureza, era o mesmo que malhar em ferro frio. E logo o representante do Ministério Público pediu vénia para duas perguntas.
— O réu sabe ler e escrever?
— Gatafunho o meu nome e, lá de ler, arranho... arranho.
— Que livros lê?
— O Mestre da Vida, o Seringador...
— Ê por conseguinte um homem mais responsável do que inculca a sua rudeza. Peço aos dignos juizes de tomarem na devida conta a minha observação. Quem disparou contra o engenheiro Lisuarte Streit da Fonseca?... Não sabe quem foi?
O réu abanou a cabeça.
— Não seria o réu? Ribelas deu um salto:
— Eu estava na loja do tio Lêndeas quando se deu o barulho.
— Não é o que se afirma nos autos. Mas pode apurar-se... Senhor Presidente, não haveria maneira de convocar para uma das próximas audiências este tal Lêndeas? Lêndeas quê?
— Lêndeas é a alcunha. O nome é Julião Barnabé, de Urrô do Anjo — esclareceu muito solícito o Dr. Labão, advogado dos dois réus dali naturais, pronunciados no processo.
— De sorte poderá ser convocado — obtemperou o Presidente, Dr. Octávio Rouvinho Estronca Briteiros. — Pertence à comarca de Bouça de Rei. Mas o seu depoimento afigura-se-me suficientemente preciso. Não declara que ignora ter conhecimento de que o réu estivesse na sua loja aquele dia?
— Ouviram-lhe dizer: um já pateou... — tornou o representante do Ministério Público, voltando-se para o réu.
— Se me ouviram dizer: um já pateou, era negócio de chincalhão. Eu estava com uma sorte maluca. Um atrás de outro, abarbatei a meu compadre três quartilhos e um bolo. Como podia eu referir-me ao senhor engenheiro, se em Urrô só pela tardinha se veio a saber o que se passou na serra? Daí lavo as minhas mãos.
— Bem vejo que não procura outra coisa, lavar as mãos como Pilatos. Mas não há água que lhas lave...
— Não há dúvida, senhor, têm volteado muito estrume.
— ... Sujas de sangue, digo eu. As testemunhas são formais. Senhor Presidente, insto pela presença do tal Julião Barnabé Lêndeas, se é possível, e por agora ponho ponto no interrogatório deste homem...
(...)