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5 days ago
Saturday, June 11, 2011
Tuesday, June 07, 2011
Wallpaper groups: Periodical plane puzzles with numbers
arXiv.org > math > arXiv:1106.0953
Periodical plane puzzles with numbers
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Periodical plane puzzles with numbers
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Consider a periodical (in two independent directions) tiling of the plane with polygons (faces). In this article we shall only give examples using squares, regular hexagons, equilateral triangles and parallelograms ("unions" of two equilateral triangles). We shall call some "multiple" of the fundamental region "the board". We naturally identify pairs of corresponding edges of the the board. Figures 9 and 19-29, in this article, show different boards. The "border" of the board is represented by a yellow thick line, unless part of it or all of it is the edge of a face.
The board is tiled by a finite number of polygons. Construct polygonal plates in the same number, shape and size as the polygons of the board. Adjacent to each side of each plate draw a number, or two numbers, like it is shown in Figures 1 and 18-29. Figure 1 shows the obvious possibility of having plates with simple drawings, coloured drawings, etc.
Now the game is to put the plates over the board polygons in such a way that the numbers near each board edge are equal. If there is at least one solution of this puzzle one says that we have a periodical plane puzzle with numbers.
These puzzles are a tool in teaching and learning mathematics. For those that already have some mathematical knowledge, they are a source for many examples and exercises, that go from the elementary to complex ones, in combinatorics, group theory (including symmetry and permutation groups), programming, and so on. The object of this work is to point out some possibilities by giving simple examples.
The computer is the only practical way of "materializing" infinite periodical plane puzzles. Hence, these puzzles can be very well put into practice as computer games.
This article follows some others on puzzles with numbers.
The board is tiled by a finite number of polygons. Construct polygonal plates in the same number, shape and size as the polygons of the board. Adjacent to each side of each plate draw a number, or two numbers, like it is shown in Figures 1 and 18-29. Figure 1 shows the obvious possibility of having plates with simple drawings, coloured drawings, etc.
Now the game is to put the plates over the board polygons in such a way that the numbers near each board edge are equal. If there is at least one solution of this puzzle one says that we have a periodical plane puzzle with numbers.
These puzzles are a tool in teaching and learning mathematics. For those that already have some mathematical knowledge, they are a source for many examples and exercises, that go from the elementary to complex ones, in combinatorics, group theory (including symmetry and permutation groups), programming, and so on. The object of this work is to point out some possibilities by giving simple examples.
The computer is the only practical way of "materializing" infinite periodical plane puzzles. Hence, these puzzles can be very well put into practice as computer games.
This article follows some others on puzzles with numbers.
Sunday, June 05, 2011
A vida é amiga da arte...
Painel de azulejos, Batistério, Catedral Metropolitana de Brasília
(O batistério em forma ovóide teve em suas paredes o painel em lajotas cerâmicas pintadas em 1977 por Athos Bulcão)
Painel de azulejos, Batistério, Catedral Metropolitana de Brasília, 1970.. Foto: Edgar César Filho
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(O batistério em forma ovóide teve em suas paredes o painel em lajotas cerâmicas pintadas em 1977 por Athos Bulcão)
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Friday, June 03, 2011
Wallpaper groups. Tissues: Africa - p6
Numbers mean the rotations order. Yellow lines are the border of a fundamental region.
Wednesday, June 01, 2011
Wallpaper groups. Pavements: p2
p2
Small yellow circles mean rotations of order 2. Yellow lines are the border of a fundamental region.
Monday, May 30, 2011
Saturday, May 28, 2011
Wallpaper groups. Tiles: Brasil, Brasilia Palace Hotel - p2mg
Numbers mean rotations of order 2. Mirrors are represented by red lines and and glides by green ones.
Thursday, May 26, 2011
Tuesday, May 24, 2011
Monday, May 23, 2011
Riccardo Muti: «E quando l'ho diretto la prima volta ho sentito, quando il coro ha cantato "oh mia patria si bella e perduta", che quel momento fosse carico della situazione drammatica non solo per le istituzioni ma anche perla vita delle persone chiamate a studiare nei conservatori, nelle accademie, nelle università.»
Saturday, May 21, 2011
«a mais criminosa organização do trabalho que ainda engenhou o mais desaçamado egoísmo»
(...)
Como quer que seja, para a Amazônia de agora devera restaurar-se integralmente, na definição da sua psicologia coletiva, o mesmo doloroso apotegma - ultra equinotialem non peccavi - que Barlaeus engenhou para os desmandos da época colonial.
Os mesmos amazonenses, espirituosamente, o perceberam. À entrada de Manaus existe a belíssima Ilha de Marapatá - e essa ilha tem uma função alarmante. É o mais original dos lazaretos - um lazareto de almas! Ali, dizem, o recém-vindo deixa a consciência... Meça-se o alcance dêste prodígio da fantasia popular. A ilha que existe fronteira à bôca do Purus, perdeu o antigo nome geográfico e chama-se "Ilha da Consciência"; e o mesmo acontece a uma outra, semelhante, na foz do Juruá. É uma preocupação: o homem, ao penetrar as duas portas que levam ao paraíso diabólico dos seringais, abdica às melhores qualidades nativas e fulmina-se a si próprio, a rir, com aquela ironia formidável.
É que, realmente, nas paragens exuberantes das heveas e castilloas, o aguarda a mais criminosa organização do trabalho que ainda engenhou o mais desaçamado egoísmo.
De feito, o seringueiro - e não designamos o patrão opulento, senão o freguês jungido à gleba das "estradas" -, o seringueiro realiza uma tremenda anomalia: é o homem que trabalha para escravizar-se.
Demonstra-se esta enormidade precitando-a com alguns cifrões secamente positivos e seguros.
Vêde esta conta de venda de um homem:
No próprio dia em que parte do Ceará, o seringueiro principia a dever: deve a passagem de proa até ao Pará (35$000), e o dinheiro que recebeu para preparar-se (150$000). Depois vem a importância do transporte, num "gaiola" qualquer de Belém ao barracão longínquo a que se destina, e que é, na média, de 150$000. Aditem-se cêrca de 800$000 para os seguintes utensílios invariáveis: um boião de furo, uma bacia, mil tigelinhas, uma machadinha de ferro, um machado, um terçado, um refle (carabina Winchester) e duzentas balas, dois pratos, duas colheres, duas xícaras, duas panelas, uma cafeteira, dois carretéis de linha e um agulheiro. Nada mais. Aí temos o nosso homem no "barracão" senhoril, antes de seguir para a barraca, no centro, que o patrão lhe designará. Ainda é um "brabo", isto é, ainda não aprendeu o "corte da madeira" e já deve 1:135$000. Segue para o pôsto solitário encalçado de um comboio levando-lhe a bagagem e víveres, rigorosamente marcados, que lhe bastem para três meses: 3 paneiros de farinha de água, 1 saco de feijão, outro, pequeno, de sal, 20 quilos de arroz, 30 de xarque, 21 de café, 30 de açúcar, 6 latas de banha, 8 libras de fumo e 20 gramas de quinino. Tudo isto lhe custa cêrca de 750$000. Ainda não deu um talho de machadinha, ainda é o "brabo" canhestro, de quem chasqueia o "manso" experimentado, e já tem o compromisso sério de 2:090$000.
Admitamos agora uma série de condições favoráveis, que jamais concorrem: a) que seja solteiro; b) que chegue à barraca em maio, quando começa o "corte"; c) que não adoeça e seja conduzido ao barracão, subordinado a uma despesa de 10$000 diários; d) que nada compre além daqueles víveres - e que seja sóbrio, tenaz, incorruptível; um estóico firmemente lançado no caminho da fortuna arrostando uma penitência dolorosa e longa. Vamos além - admitamos que, malgrado a sua inexperiência, consiga tirar logo 350 quilos de borracha fina e 100 de sernambi, por ano, o que é difícil, ao menos no Purus.
Pois bem, ultimada a safra, êste tenaz, êste estóico, êste indivíduo raro ali, ainda deve. O patrão é, conforme o contrato mais geral, quem lhe diz o preço da fazenda e lhe escritura as contas. Os 350 quilos remunerados hoje a 5$000 rendem-lhe 1:750$000; os 100 de sernambi, a 2$500, 250$000. Total 2:000$000.
É ainda devedor e raro deixa de o ser. No ano seguinte já é "manso": conhece os segredos do serviço e pode tirar de 600 a 700 quilos. Mas considere-se que permaneceu inativo durante todo o período da enchente, de novembro a maio _ sete meses em que a simples subsistência lhe acarreta um excesso superior ao duplo do que trouxe em víveres, ou seja, em números redondos, 1:500$000 -admitindo-se ainda que não precise renovar uma só peça de ferramenta ou de roupa e que não teve a mais passageira enfermidade. É evidente que, mesmo nêste caso especialíssimo, raro é o seringueiro capaz de emancipar-se pela fortuna.
Agora vêde o quadro real. Aquêle tipo de lutador é excepcional. O homem de ordinário leva àqueles lugares a imprevidência característica da nossa raça; muitas vêzes carrega a família, que lhe multiplica os encargos; e quase sempre adoece, mercê da incontinência generalizada.
Adicionai a isto o desastroso contrato unilateral, que lhe impõe o patrão. Os "regulamentos" dos seringais são a êste propósito dolorosamente expressivos. Lendo-os, vê-se o renascer de um feudalismo acalcanhado e bronco. O patrão inflexível decreta, num emperramento gramatical estupendo, coisas assombrosas.
Por exemplo: a pesada multa de 100$000 comina-se a êstes crimes abomináveis: a) "fazer na árvore um corte inferior ao gume do machado"; b) "levantar o tampo da madeira na ocasião de ser cortada"; c) "sangrar com machacinhas de cabo maior de quatro palmos". Além disto o trabalhador só pode comprar no armazém do barracão, "não podendo comprar a qualquer outro, sob pena de passar pela multa de 50% sôbre a importância comprada".
Farpeiem-se de aspas êstes dizeres brutos. Ante êles é quase harmoniosa a gagueira terrível de Caliban.
É natural que ao fim de alguns anos o "freguês" esteja irremediàvelmente perdido. A sua dívida avulta ameaçadoramente: três, quatro, cinco, dez contos, às vêzes, que não pagará nunca. Queda, então, na mórbida impassibilidade de um felá desprotegido dobrando tôda a cerviz à servidão completa. O "regulamento" é impiedoso: "Qualquer "freguês" ou "aviado" não poderá retirar-se sem que liqüide tôdas as suas transações comerciais..." Fugir? Nem cuida em tal. Aterra-o o desmarcado da distância a percorrer. Buscar outro barracão? Há entre os patrões acôrdo de não aceitarem, uns os empregados de outros, antes de saldadas as dívidas, e ainda há pouco tempo houve no Acre numerosa reunião para sistematizar-se essa aliança, criando-se pesadas multas aos patrões recalcitrantes.
Agora, dizei-me, que resta, no fim de um qüinqüênio, do aventuroso sertanejo que demanda aquelas paragens, ferretoado da ânsia de riquezas?
Não o ligam sequer à terra. Um artigo do famoso "regulamento" torna-o eterno hóspede dentro da própria casa. Citemo-lo com todo o brutesco de sua expressão imbecil e feroz: "Tôdas as benfeitorias que o liqüidado tiver feito nesta propriedade perderá totalmente o direito uma vez que retire-se."
Daí o quadro doloroso que patenteiam, de ordinário, as pequenas barracas. O viajante procura-as e mal descobre, entre as sororocas, a estreitíssima trilha que conduz à vivenda, meio afogada no mato. É que o morador não despende o mais ligeiro esfôrço em melhorar o sítio de onde pode ser expelido em uma hora, sem direito à reclamação mais breve.
Esta resenha comportaria alguns exemplos bem dolorosos. Fôra inútil apontá-los. Dela ressalta impressionadoramente a urgência de medidas que salvem a sociedade obscura e abandonada: uma lei do trabalho que nobilite o esfôrço do homem; uma justiça austera que lhe cerceie os desmandos; e uma forma qualquer do homestead que o consorcie definitivamente à terra.
(...)
Friday, May 20, 2011
Wallpaper groups. Tissues: Africa - p4gm
p4gm
Numbers mean the order of the rotations. Mirrors are represented by red lines. White lines are the border of a fundamental region.
Numbers mean the order of the rotations. Mirrors are represented by red lines. White lines are the border of a fundamental region.
Wednesday, May 18, 2011
Tuesday, May 17, 2011
Wallpaper groups. Portuguese tiles: cm
Mirrors are represented by red lines and and glides by green ones. Yellow lines are the border of a fundamental region.
Monday, May 16, 2011
Saturday, May 14, 2011
Friday, May 13, 2011
Thursday, May 12, 2011
Tuesday, May 10, 2011
Monday, May 09, 2011
Sunday, May 08, 2011
Wallpaper groups. Portuguese tiles: c2mm
Lisbon, Metro, Restauradores
c2mmSmall yellow circles mean rotations of order 2. Mirrors are represented by red lines and and glides by green ones. Yellow lines are the border of a fundamental region.
Saturday, May 07, 2011
Thursday, May 05, 2011
Maria Keil
Images from Maria KeilMaria Keil (Wikipédia)
(Todos os dias passo pelas Amoreiras.)
Há lá renda que se assemelhe
Há lá renda que se assemelhe
a este tecido de árvores no Ar...
(Hei-de pedir à Maria Keil
para as pintar.)
Árvores do Jardim do Aqueduto
Árvores do Jardim do Aqueduto
sem flor nem fruto,
nem nada de seu...
Só este azul de pássaros a cantar
Só este azul de pássaros a cantar
que vai da terra ao céu.
Wednesday, May 04, 2011
Wallpaper groups. Portuguese pavements: p6mm
Small circles mean rotations. Mirrors are represented by red lines. For the order of the rotations and for glide reflections, see Wallpaper groups: p6 and p6mm
Tuesday, May 03, 2011
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